【基本初等函数导数公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。对于基本初等函数的导数，掌握其求导法则具有重要意义。以下是对常见基本初等函数导数公式的总结，便于学习和查阅。
一、基本初等函数导数公式总结
1. 常数函数
函数：$ f(x) = C $（C为常数）
导数：$ f'(x) = 0 $
2. 幂函数
函数：$ f(x) = x^n $（n为任意实数）
导数：$ f'(x) = n \cdot x^{n-1} $
3. 指数函数
- 函数：$ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1）
导数：$ f'(x) = a^x \ln a $
- 特例：$ f(x) = e^x $
导数：$ f'(x) = e^x $
4. 对数函数
- 函数：$ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1）
导数：$ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $
- 特例：$ f(x) = \ln x $
导数：$ f'(x) = \frac{1}{x} $
5. 三角函数
- $ f(x) = \sin x $
导数：$ f'(x) = \cos x $
- $ f(x) = \cos x $
导数：$ f'(x) = -\sin x $
- $ f(x) = \tan x $
导数：$ f'(x) = \sec^2 x $
- $ f(x) = \cot x $
导数：$ f'(x) = -\csc^2 x $
6. 反三角函数
- $ f(x) = \arcsin x $
导数：$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ f(x) = \arccos x $
导数：$ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ f(x) = \arctan x $
导数：$ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $
二、基本初等函数导数公式表
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数表达式 |
| 常数函数 | $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = n x^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 自然指数函数 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 自然对数函数 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 正弦函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| 余弦函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| 正切函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| 余切函数 | $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| 反正弦函数 | $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 反余弦函数 | $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 反正切函数 | $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、结语
掌握这些基本初等函数的导数公式是学习微积分的基础。通过熟练记忆和灵活运用这些公式，可以快速解决许多与导数相关的数学问题。建议在实际应用中多加练习，以加深理解和记忆。
