【无穷级数求和7个公式】在数学中，无穷级数是一个重要的研究对象，尤其在分析学、微积分以及应用数学中有着广泛的应用。无穷级数的求和是其核心问题之一，掌握一些常见的无穷级数求和公式对于理解和解决实际问题具有重要意义。以下是7个常见的无穷级数求和公式，便于查阅与学习。
一、基本概念回顾
无穷级数是指由无限多个项相加构成的序列之和，记作：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
$$
若该级数的部分和序列收敛，则称该级数为收敛级数；否则为发散级数。
二、常见无穷级数求和公式总结
| 序号 | 级数形式 | 求和公式 | 收敛条件 | ||
| 1 | $\sum_{n=0}^{\infty} r^n$ | $\frac{1}{1 - r}$ | $ | r | < 1$ |
| 2 | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ | $\frac{\pi^2}{6}$ | 收敛（巴塞尔问题） | ||
| 3 | $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$ | $\ln(2)$ | 收敛（交错级数） | ||
| 4 | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ | $e^x$ | 对所有实数 $x$ 收敛 | ||
| 5 | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | $\cos(x)$ | 对所有实数 $x$ 收敛 | ||
| 6 | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $\sin(x)$ | 对所有实数 $x$ 收敛 | ||
| 7 | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ | $1$ | 收敛（望远镜级数） |
三、简要说明
1. 等比数列求和公式：适用于公比 $
2. 巴塞尔问题：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是一个经典的收敛级数，其和为 $\frac{\pi^2}{6}$，由欧拉证明。
3. 交错调和级数：虽然绝对收敛性不成立，但通过莱布尼茨判别法可知其收敛于 $\ln(2)$。
4. 指数函数展开：泰勒级数展开式，适用于计算 $e^x$ 的近似值。
5. 余弦函数展开：同样来自泰勒级数，用于三角函数的近似计算。
6. 正弦函数展开：与余弦类似，是常见的三角函数展开形式。
7. 望远镜级数：通过拆分项使得大部分中间项相互抵消，最终只保留首尾部分，易于求和。
四、结语
掌握这些基本的无穷级数求和公式，不仅有助于理解级数的性质，还能在工程、物理、计算机科学等领域中发挥重要作用。建议结合具体应用场景进行练习与验证，以加深对这些公式的理解与运用能力。
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