【定比分点公】在解析几何中，定比分点公式是一个重要的知识点，广泛应用于坐标系中的点的分割问题。该公式用于确定一条线段被某一点按一定比例分隔时，该点的坐标如何表示。通过这个公式，可以快速求出分点的位置，适用于平面几何、向量分析以及实际应用问题。
一、定比分点公式的定义
设线段AB的两个端点分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，若存在一点P(x, y)，使得AP:PB = m:n（m、n为正实数），则称P为线段AB的定比分点，其中m:n为分比。
根据分比的不同情况，定比分点可分为内分点和外分点两种：
- 内分点：当m、n均为正数时，点P在线段AB内部；
- 外分点：当m与n符号不同时，点P在线段AB的延长线上。
二、定比分点公式的推导
根据向量法或坐标法，可得定比分点的坐标公式如下：
内分点公式：
$$
x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \quad y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}
$$
外分点公式：
$$
x = \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \quad y = \frac{my_2 - ny_1}{m - n}
$$
其中，m:n为分比，m ≠ n。
三、定比分点公式的应用举例
| 分比 | 点类型 | 公式 | 示例 |
| 1:1 | 中点 | $ x = \frac{x_1 + x_2}{2}, y = \frac{y_1 + y_2}{2} $ | A(1,2), B(3,4) → P(2,3) |
| 2:1 | 内分点 | $ x = \frac{2x_2 + x_1}{3}, y = \frac{2y_2 + y_1}{3} $ | A(0,0), B(3,6) → P(2,4) |
| 1:2 | 内分点 | $ x = \frac{x_2 + 2x_1}{3}, y = \frac{y_2 + 2y_1}{3} $ | A(0,0), B(3,6) → P(1,2) |
| 2:-1 | 外分点 | $ x = \frac{2x_2 - x_1}{1}, y = \frac{2y_2 - y_1}{1} $ | A(0,0), B(3,6) → P(6,12) |
四、总结
定比分点公式是解析几何中的基础工具，能够帮助我们快速求解线段上满足特定比例的点的坐标。掌握该公式不仅有助于理解几何图形的结构，还能在物理、工程等领域中发挥重要作用。通过不同分比的应用，可以灵活处理内分点和外分点的问题，提升解题效率。
在使用过程中，需要注意分比的符号意义，以区分内分与外分的情况，并确保计算过程的准确性。
