【arctanx的积分等于什么】在数学中，反三角函数的积分是一个常见的问题。其中，arctanx（即反正切函数）的积分是微积分学习中的一个重要知识点。本文将总结arctanx的积分公式，并通过表格形式清晰展示相关结果。
一、arctanx的积分公式
arctanx的不定积分可以通过分部积分法求得。其积分公式如下：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
其中，C 是积分常数。
这个结果可以通过以下步骤推导得出：
1. 设 $ u = \arctan x $，$ dv = dx $
2. 则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $，$ v = x $
3. 应用分部积分公式：$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $
4. 得到：$ \int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx $
5. 对后一项积分：令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，所以 $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $
最终得到上述积分表达式。
二、总结与表格展示
| 积分表达式 | 结果 |
| $\int \arctan x \, dx$ | $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C$ |
三、注意事项
- 在计算定积分时，需代入上下限进行计算。
- 若涉及复杂函数或复合函数，可结合换元法或分部积分进一步处理。
- 反正切函数的积分在工程、物理和信号处理等领域有广泛应用。
通过以上分析，我们可以清楚地了解arctanx的积分公式及其推导过程。掌握这一知识点有助于更深入地理解微积分的基本方法和应用。
